Música, matemàtiques, idees

Fa unes setmanes parlava de l'interessant article del musicòleg Kyle Gann sobre les diferents afinacions. En ell l'autor explicava com es podien definir les notes (pitches) de l'escala musical mitjançant fraccions, i com aquestes fraccions podien transformar-se en mesures quantitatives (números reals anomenats «cèntims», cents) mitjançant una senzilla fòrmula matemàtica ideada per Alexander J. Ellis el 1884.

En llegir aquest article, i gràcies al treball en estadística multivariant que havia dut a terme a l'IQC, de seguida vaig pensar en que aquestes relacions entre pitches tenien una estructura de mesures de dissemblança. És a dir, hom podia construir una matriu diagonal, simètrica i definida positiva on l'element {i, j} expressés la dissemblança entre dues notes qualssevol de l'escala. En conseqüència, es podrien aplicar tècniques estadístiques (en particular, l'escalat multidimensional, MDS) per a poder representar gràficament en un espai bidimensional la proximitat entre els diferents pitches. Aquest tractament, combinat amb l'anomenat anàlisi de Procrustes, permetria poder comparar gràficament diferents afinacions, i copsar així d'una manera senzilla i directa les diferències entre elles.

Encuriosit pel tema, he estat fent una mica de recerca a la web. L'ús de la tècnica de l'MDS a la música ha vingut de perspectives molt diferents. Atès que l'MDS és una tècnica utilitzada originalment en psicologia a fi de poder revelar relacions ocultes entre valoracions subjectives d'estímuls, no és gens estrany que existeixin aplicacions basades en la percepció psicològica de la música, com la que va dur a terme Carol R. Krumhansl a Cognitive Foundations of Musical Pitch, o les d'altres autors en referència al timbre de diferents instruments o a la semblança entre diferents estils musicals. En els darrers anys, el nombre de tesis doctorals dedicades a aquest tema ha augmentat notablement.

Especialment interessant és un treball que, si bé no és exactament el que comento en els primers paràgrafs, sí que hi està molt a prop. Fred Lerdahl, compositor i professor de la Universitat de Columbia, va publicar el 2001 un llibre titulat Tonal Pitch Space on desenvolupava un model quantitatiu per a les distàncies relatives entre notes, acords i regions d'una tònica donada, que caracteritzarien les intuïcions dels oients. El llibre prosseguia el treball iniciat el 1983 a A generative theory of tonal music, on es modelava el coneixement musical des de la perspectiva de la ciència cognitiva, i en particular de la moderna lingüística generativa.

Basant-se en el treball de Lerdahl, els professors Burgoyne i Saul, de la Universitat de Pennsylvania, publicaren l'any 2005 un article (Visualization of low dimensional structure in tonal pitch space) on precisament utilitzaven l'MDS per a analitzar la matriu de distàncies de Lerdahl entre un conjunt d'harmonies.

Addenda (correspondències):

John Ashley Burgoyne respon molt amablement les meves qüestions. Em concedeix que les meves intuïcions són correctes (la reducció de dimensionalitat per a l'equal temperament conduiria a una distribució circular dels pitches, i a un patró similar, però distorsionat, per a les altres afinacions), però em fa veure que no és tan senzill definir una matriu de distàncies entre pitches d'una mateixa afinació sense tenir en compte les claus (keys), i que l'MDS no està optimitzat per a tractar correctament dimensions periòdiques (usualment es representen en espais toroidals en lloc d'euclidians, com ells fan en el seu article). Em recomana bibliografia sobre el tema: Mathematical Models of Musical Scales: A New Approach, de Mark Lindley i Ronald Turner-Smith; i The Structure of Recognizable Diatonic Tunings, de Easley Blackwood. Bons punts de partida per a seguir aprenent.